개발 스택 타다닥, 쌓아요

 입자가 움직일 때 입자의 속도가 변하는 상황을 살펴보았다. 입자의 속도가 시간에 따라 변할 때, 그 입자는 가속되고 있다고 말한다. 예를 들면 달리는 자동차의 속도 크기는 가속 페달을 밟으면 증가하고 브레이크를 밟으면 감소한다. 가속도를 어떻게 나타내는지 알아보자.

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 위의 그림과 같이 시간 t_i 에서 처음 속도가 υ_xi 이고, 시간 t_f에서 나중 속도가 υ_xf인 x축을 따라 움직이는 입자로 모형화한 물체를 생각해 보자. 입자의 평균 가속도(average acceleration) α_x,avg 는 속도 변화 Δυ_x를 변화가 일어나는 동안의 시간 간격 Δt로 나눈 값으로 정의된다.

$$a_{x, avg}\equiv \frac{\Delta \upsilon _{x}}{\Delta t}= \frac{\upsilon _{xf}-\upsilon _{xi}}{t_{f}-t_{i}}$$

 일차원 운동에서는 속도처럼 가속도의 방향을 양(+)과 음(-)의 부호를 사용하여 나타낼 수 있다. 속도의 차원은 L/T이고 시간의 차원은 T이기 때문에, 가속도의 차원은 길이를 시간의 제곡으로 나눈 차원, 즉 L/T^2이다. 가속도의 SI 단위는 m/s^2이다.

 

 예를 들면 한 물체가 +2m/s^2의 가속도를 갖는다고 생각하자. 이는 물체의 속도가 직선을 따라 매초당 2m씩 증가하는 상황으로 그려볼 수 있다. 그 물체가 정지 상태에서 출발한다면, 1s 후 +2m/s, 2s 후 +4m/s 등의 속도로 움직일 것이다.

 

 어떤 경우에 시간 간격에 따라 평균 가속도의 값이 달라질 수 이다. 그래서 Δt가 영으로 접근할 때 평균 가속도의 극한인 순간 가속도(instantaneous acceleration)를 정의하는 것이 유용하다. 이 개념은 순간 속도의 정의와 유사하다.

 

 위의 그림에서 점 A가 점 B에 점점 더 가까워지고, Δt가 영에 접근할 때 Δυ_x/Δt 의 극한이 존재하면, B에서의 순간 가속도는

$$a_{x}\equiv \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}= \frac{d\upsilon _{x}}{dt}$$

가 된다. 즉, 순간 가속도는 시간에 대한 속도의 도함수와 같고, 속도-시간 그래프의 접선의 기울기가 된다. 위의 그림에서 초록색 선의 기울기는 점 B에서의 순간 가속도와 같다. 이 그림은 위치-시간 그래프가 아니라 속도-시간 그래프임에 주목하라. 그래서 움직이는 입자의 속도는 x-t 그래프 상의 한 점에서 기울기인 것처럼, 입자의 가속도는 υ_x - t 그리프 상의 한 점에서 기울기이다. 시간에 대한 속도의 시간 변화율로 해석될 수 있다. a_x가 양(+)이면 가속도는 +x 방향이고, a_x가 음(-)이면 가속도는 -x 방향이다.

위 그림은 가속도-시간 그래프가 속도-시간 그래프와 어떻게 관련이 있는지 보여준다. 어떤 시간에서의 가속도는 그 시간에서 속도-시간 그래프의 기울기와 같다. 양(+)의 가속도 값은 이 그래프에서 속도가 +x의 방향으로 증가하고 있는 점들에 해당한다. 가속도는 속도-시간 그래프의 기울기가 최대인 시간  t_B에서 가속도는 영이 된다. +x 방향에서 속도가 감소할 때, 가속도는 음(-)이고, 시간 t_C 에서 가속도는 영이 된다.

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 직선 운동의 경우, 물체의 속도 방향과 가속도 방향이 다음과 같이 연관되어 있다. 물체의 속도와 가속도가 같은 방향일 때 물체의 속력은 증가한다. 반면에 물에의 속도와 가속도가 서로 반대  방향일 때 물체의 속력은 감소한다.

 속도와 가속도의 부호에 대한 이러한 논의는 물체의 가속도와 물체에 작용하는 힘을 연관시키는 데 도움이 된다. 물체에 작용하는 힘은 물체의 가속도에 비례함을 나중에 공부할 것이다.

 즉

$$F_{x}\propto a_{x}$$

이다. 가속도가 힘에 의해 유도된다는 비례식은 유명하다. 더욱이 힘과 가속도는 둘 다 벡터양이고 같은 방향으로 작용한다.

 이렇게 해서 물체에 힘이 작용하여 가속될 때, 속도와 가속도의 부호가 어떻게 될 지 생각해 보자. 속도와 가속도는 같은 방향이라고 가정했을 때, 이 상황은 어느 한 방향으로 움직이는 물체가 같은 방향으로 작용하는 힘을 받는 경우와 같다. 이러한 경우 물체의 속력은 증가한다. 이제 속도와 가속도가 반대 방향에 있는 경우를 생각해 보자. 이 상황에서는 물체가 어느 한 방향으로 움직이고 반대 방향으로 힘이 물체에 작용한다. 따라서 물체의 속력은 감소한다. 가속도의 방향으로 생각하기보다는 물체에 작용하는 힘이 미치는 효과를 생각하는 것이 일상적인 경험에 의해 알기 쉽기 때문에, 가속도의 방향과 힘의 방향이 같다고 보는 것이 매우 유용하다.

 지금부터 '순간 가속도'를 나타내는 용어로 가속도라는 표현을 사용할 것이다. '평균 가속도'를 나타낼 때는 항상 평균이라는 관형어를 사용할 것이다. υ_x = dx/dt이기 때문에, 가속도는 또한 다음과 같이 나타낼 수 있다.

즉, 일차원 운동에서 가속도는 시간에 대한 x의 이계 도함수와 같다.

 

도함수로 가속도 구하기

 지금까지 정의에 따라 미소량의 비를 구하고 그 극한을 취해서 어떤 함수의 도함수를 계산하였다. 만일 미적분에 익숙하다면, 도함수를 구할 때 특별한 공식들이 있음을 알고 있을 것이다. 미적분 공식을 이용하면 도함수를 빨리 계산하는 데 도움이 될 것이다. 이 부록에는 상수의 도함수가 영임을 나타내는 공식도 있다. 다른 예로서

$$x=At^{n}$$

과 같이 x가 t의 거듭제곱에 비례한다고 하자. 여기서 A와 n은 상수이다(이 식은 아주 흔한 형태의 함수이다).

 t에 관한 x의 도함수는

$$\frac{dx}{dt}= nAt^{n-1}$$

이다. 이 공식을 속도 υ = 40-5t^2 에 적용한다면, 가속도 a = dυ/dx = -10t 가 된다.