개발 스택 타다닥, 쌓아요

 종종 어떤 시간 간격에 대한 평균속도보다도 오히려 특정한 순간에 입자의 속도를 알아야 할 때가 있다.

 예를 들어 어떤 특정한 순간에 일어난 사고의 경우, 그 순간의 위치와 속도를 정확히 알아야 할 것이다.

 

 어떤 특정한 순간, 얼마나 빨리 움직이고 있는지를 제대로 표현하게 된 것은 각 순간의 물체의 운동을 미적분학으로 기술하게 된 것이었다.

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 이것을 알아보기 위해 먼저 위치-시간 그래프를 다시 그려보고 미적분학으로 고려해 보자.

왼쪽 그래프에서 A에서 B까지 그은 선의 기울기는 A에서 B까지의 평균 속도이고, A에서 F까지 그은 선분의 기울기는 A에서 F까지의 평균속도임을 이미 알아보았다.

 A에서 자동차는 양(+)의 방향으로 정의한 오른쪽 방향으로 움직이기 시작한다. 따라서 처음 속도가 양(+)의 부호이므로, A와 B 사이의 평균 속도의 값이, A에서 F까지의 시간 간격에서 음(-)으로 주어진 평균 속도의 값보다 더 처음 속도에 가깝다.

 

 왼쪽 위치-시간 그래프의 짧은 파란색 선을 보자. 데이터 점 B가 오른쪽의 그래프처럼 점차 왼쪽으로 향하여 점 A에 가까워지고 있다고 해보자.

 곡선을 따라 왼쪽으로 이동하는 두 데이터 점 사이의 간격이 점차 가까워지고, 그에 비례하여 선이 점점 가파르게 된다.

 두 점이 극단적으로 가까워질 때, 그 선은 오른쪽 그래프의 초록색 선으로 표시된 것처럼 그래프의 접선이 된다. 이 접선의 기울기는 점 A에서, 즉 데이터를 얻기 시작한 순간의 자동차의 속도를 나타낸다.

 

 우리가 한 행위는 출발 순간의 순간 속도(Instantaneous Velocity)를 결정한 것이다. 데이터점 B가 위치-시간 그래프에서 t=0에 접근하고 있었으므로 달리 표현하자면, 순간 속도 υ_x는 Δt가 영으로 접근해갈 때 Δx/Δt의 극한값과 같다.

$$\upsilon_{x} \equiv \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

미분 기호로 나타내면, 이 극한은 t에 관한 x의 도함수라 하고 dx/dt라고 쓴다.

$$\upsilon_{x} \equiv \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}= \frac{dx}{dt}$$

순간 속도는 양, 음 혹은 영이 될 수 있다.

 왼쪽 위치-시간 그래프의 처음 10 s 내의 임의의 순간에서와 같이 위치-시간 그래프의 기울기가 양(+)이면, 순간 속도 υ_x는 양(+)이고 자동차는 x가 증가하는 방향으로 움직일 것이다. 점 B 이후 기울기가 음(-0이기 때문에 υ_x는 음(-)이고 자동차는 x가 작아지는 방향으로 움직일 것이다. 점 B에서 기울기와 순간 속도는 영이고 자동차는 순간적으로 정지한다.

 

 이제부터는 순간 속도를 속도라고 하겠다. 평균 속도를 말할 때는 항상 평균이라는 말을 붙인다.

 입자의 순간 속력은 순간 속도의 크기로 정의된다.
 평균 속력과 같이 순간 속력은 연관된 방향이 없어서 대수적인 부호가 붙지 않는다. 예를 들면 만일 어느 한 입자가 주어진 직선을 따라 +25m/s의 순간 속도를 가지고, 다른 한 입자가 같은 직선을 따라 -25m/s의 순간 속도를 가지면, 두 입자는 모두 25m/s의 속력을 갖는다.

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