개발 스택 타다닥, 쌓아요

 분석 모형을 사용하면 물리문제의 답을 비교적 간단하게 찾을 수 있다고 앞의 글에서 말했다. 이러한 모형은 물리 문제에서 일반적인 상황을 분석하고 해답을 구하는 데 도움을 준다.

분석 모형(analysis model)은 어떤 물리적인 실체의 거동, 또는 그 실체와 환경 사이의 상호 작용을 기술하고 있다.

 

 새로운 문제를 풀 때, 그 문제의 기본적인 세부 사항을 확인하고, 이전에 여러분이 이미 풀어본 문제 중에서 어떤 형태가 새로운 문제의 모형으로 사용될 수 있는지를 알아보아야 한다.

예를 들면 자동차가 일정한 속력으로 직선의 고속도로를 달리고 있다고 가정하자, 여기서 자동차라는 것이 중요한가, 고속도로라는 것이 중요할까? 두 질문에 대한 답이 '아니오'라면, 자동차를 등속 운동하는 입자로 모형화할 수 있고, 논의해 보자.

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 우리는 변호사와 검사가 드라마를 보면, 그들이 법정에 서기 전에 지금과 유사한 판례가 없었는지 찾아보는 것을 볼 수 있을 것이다. 현재의 경우와 아주 유사하면서 이전에 해결된 경우를 찾아낼 수 있다면, 이를 모형으로 하여 법정에서 논리적으로 대응할 수 있다. 그렇게 하면 이전의 경우에서 찾아낸 내용은 현재의 경우를 해결하는데 이용될 수 있다.

 물리학에서도 문제를 풀 때 이와 유사한 방법을 사용할 수 있다. 주어진 문제에 대하여, 이미 익숙하고 현재 문제에 적용할 수 있는 모형을 찾는다.

 

 4 개의 기본적인 단순화 모형에 근거한 분석 모형을 만들어보겠다. 첫 번째는 앞의 글 전반부에서 논의한 입자 모형이다. 여러 형태로 운동하며 주위와 상호작용하고 있는 입자를 살펴보자. 계, 강체 및 파동과 같은 좀 더 심도 있는 분석 모형은 후반부의 장에서 소개할 예정이다. 여기서 소개된 분석 모형은 여러 상황의 문제에서 이 모형들이 반복적으로 나타남을 알게 될 것이다.

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 문제를 풀 때, 문제에서 요구하는 미지의 변수가 포함되어 있는 식을 찾으려고 교재의 여기저기를 두서없이 대강 훑어보는 것은 피해야 한다. 많은 경우, 여러분이 찾은 식은 풀고자 하는 문제와 상관이 없을 수 있다. 다음의 첫 번째 단계를 밟는 것이 훨씬 더 좋다.

문제에 적절한 분석 모형을 설정하라.

 

그렇게 하기 위해서는, 문제에서의 상황을 주의 깊게 생각하고 이전에 알고 있던 내용과 연결시켜라. 일단 분석 모형이 설정되면, 그 모형에 적절한 적은 개수의 식이 있을 것이다. 따라서, 그 모형으로부터 수학적인 표현을 위해 사용할 식이 어떤 것인지 알 수 있게 된다.

 

문제 해결을 위한 첫 번째 분석 모형을 만들기 위해 평균 속도 식(υ_x, avg ≡ Δx/Δt)을 사용해 보자. 등속도로 운동하는 입자를 생각해 보자. 등속 운동하는 입자 모형은 등속도로 운동하는 어떤 경우에도 적용할 수 있다. 이러한 상황은 빈번하게 나타나므로 이 모형은 중요하다.

 

 입자의 속도가 일정하면, 시간 간격 내 어떤 순간에서의 순간 속도는 이 구간에서의 평균 속도와 같다.

 다시 말하면 υ_x = υ_x, avg인 것이다.

 그러므로 평균 속도 식(υ_x, avg ≡ Δx/Δt)로부터 이 경우의 수학적인 표현에 사용될 수 있는 식을 얻을 수 있다.

$$\upsilon _{x}= \frac{\Delta x}{\Delta t}$$

여기서 Δx = x_f - x_i 이면,

$$\upsilon_{x} =\frac{\left ( x_{f}-x_{i} \right)}{\Delta t}$$

이다. 또는

$$x_{f}= x_{i}+\upsilon _{x}t$$

이다. 이 식은 입자의 위치가 t=0에서의 처음 위치 x_i와 시간 간격 Δt 동안에 생긴 변위 υΔt와의 합임을 말해주고 있다. 일반적으로 실제 문제에서 처음 시간을 t_i = 0, 나중 시간을 t_f = t로 놓으므로, 이 식은 다음과 같이 된다.

$$x_{f}=x_{i}+\upsilon _{x}t$$

등속 운동하는 입자의 모형에서 시간의 함수로 나타낸 위치를 최종적으로 이렇게 표현할 수 있다.

 위의 두 식(하나는 같은 식 다른 표현이니까)은 등속 운동하는 입자의 모형에 사용되는 중요한 관계식이다. 등속 운동하는 입자로 모형화할 수 있는 문제에서는 언제든지 이들 식을 즉시 적용할 수 있다.

 위의 그림은 등속 운동하는 입자의 그래프 표현이다. 이 위치-시간 그래프에서 운동을 나타내는 직선의 기울기는 일정하고, 이는 속도의 값과 같다. 직선의 식인 등속 운동하는 입자의 모형에서 시간을 표현한 식은 등속 운동하는 입자 모형의 수학적인 표현이다. 두 가지 표현 모두에서 직선의 기울기는 υ_x이고, 위치를 나타내는 축의 절편은 x_i이다.

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등속 운동하는 입자에 대한 수학적인 계산은 위에서 구한 등속 운동하는 입자의 모형에 사용되는 관계식에서 시작된다.

 이들의 식은 미지의 변수를 구하고자 할 때 사용될 수 있다. 예를 들면 달리는 사람을 입자로 모형화하였을 때, 그 입자의 속도와 시간이 주어졌을 때 위치를 구한다.

마찬가지로 속도와 나중 위치를 알고 있다면, 달리는 사람이 이 위치에 있게 되는 시간을 구하기 위하여 식을 이용할 수 도 있는 것이다.

 

 등속 운동하는 입자는 직선을 따라 일정한 속력으로 움직인다. 이제 곡선의 경로를 따라서 일정한 속력으로 움직이는 입자를 고려하자. 이 상황은 일정한 속력으로 운동하는 입자 모형으로 나타낼 수 있다. 이 모형에서 주요한 식은 평균 속력을 구하는 식에서 평균 속력υ_avg을 일정한 속력υ으로 치환하여 얻는 것이다.

$$\upsilon=\frac{d}{\Delta t}$$

예를 한 가지 들면, 원형 경로에서 일정한 속력으로 움직이는 입자가 있다고 해보자.

속력이 5 m/s이고 경로의 반지름이 10m인 경우, 원을 따라 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 계산할 수 있다.

$$\upsilon= d/\Delta t \to \Delta t=\frac{d}{\upsilon } =\frac{2\pi r}{v}= \frac{2\pi \left ( 10.m \right )}{5.00m/s}= 12.6s$$