개발 스택 타다닥, 쌓아요

 입자의 가속도가 시간에 따라 변하면 입자의 운동은 복잡하여 분석하기가 어려워진다. 그러나 가속도가 일정한 일차원 운동은 아주 간단하며 자주 마주치는 형태의 운동이다.

 입자의 가속도가 일정하면 시간 간격을 임의로 설정하여도 평균 가속도 a_x, avg 는 항상 순간 가속도 a_x와 같고, 입자의 속도는 운동하는 전 구간에 걸쳐 같은 비율로 변한다. 이런 상황은 자주 일어나므로 분석 모형의 한 가지로 택할 수 있다. 이 모형을 등가속도 운동하는 입자라 한다. 이 모형에서 입자의 운동을 기술하는 몇가지 관계식을 만들어 보자.

 

 평균 가속도 식에서 a_x, avg를 a_x로 치환하고 t_i=0과 t_f=t 로 두면 다음과 같다.

$$a_{x}=\frac{\upsilon _{xf}-\upsilon _{xi}}{t-0}$$

 

이를 정리하면

$$\upsilon_{xf} =\upsilon _{xi}+a_{x}t$$(단, a_x는 일정)

 

이다. 물체의 처음 속도 υ_xi와 일정한 가속도 a_x를 알면 이 표현을 이용하여 어떤 시간 t에서 물체의 속도를 할 수 있다.

 

 

위 그림들은 각각 (a)위치-시간 그래프, (b) 속도-시간 그래프, (c) 가속도-시간 그래프이다.

 (b) 그래프은 직선이고 직선의 기울기는 가속도 a이다. 기울기가 일정하다는 것은 a = dυ/dt가 일정하다는 사실과 일치한다. 기울기가 양(+) 임에 유의하라. 즉 양(+)의 기울기는 양(+)의 가속도를 나타낸다. 만일 가속도가 음(-)이라면, (b) 그래프에서 직선의 기울기가 음(-) 일 것이다. 가속도가 일정할 때, 시간에 대한 가속도의 그래프는 기울기가 영인 직선이다.

 

 등갓고도 운동에서 속도는 'υ_x f = υ_x i + at' 식에 의해 시간에 따라 선형으로 변하기 때문에, 어떤 시간 간격 동안의 평균 속도는 처음 속도 'υ_x i'와 'υ_x f'의 산술 평균으로 표현될 수 있다.

$$\upsilon_{x, avg} =\frac{\upsilon _{xi}+\upsilon _{xf}}{2}$$(단, a_x는 일정)

평균 속도에 대한 이 표현은 가속도가 일정한 상황에서만 적용된다.

---

지금까지 배운 식들 중 일부와 위의 식을 활용하여 물체의 위치를 시간의 함수로 구할 수 있다.

 

 Δ x는 x의 나중 값에서 처음 값을 뺀 값이다.

 Δ t는 시간의 나중 값에서 처음 값을 뺀 값이지만, 처음 시간 값이 0이면 나중 시간 값이 전체 시간 즉, t가 된다.

$$\Delta x = x_{f}-x_{i}$$
$$\Delta t = t_{f}-t_{i}$$

이를 고려하면 거리는 시간과 속력의 곱을 이용해

$$x_{f}-x_{i}=\upsilon _{x, avg}t=\frac{1}{2}\left ( \upsilon _{xi}+\upsilon _{xf} \right )t$$

로 표현할 수 있고 나중 위치에 대하여 정리하면

$$x_{f}=x_{i}+\frac{1}{2}\left ( \upsilon _{xi}+\upsilon _{xf} \right )t$$

를 얻게 된다. 이 등가속도 운동하는 입자의 모형에서 속도와 시간의 함수로 나타낸 위치의 식은 처음 속도와 나중 속도에 의하여, 시간이 t일 때 입자의 나중 위치를 나타낸다.

 이 글의 맨 위에서 구한, 가속도가 일정할 때 시간과 속력의 식을 바로 위의 식에 대입하면

$$x_{f}=x_{i}+\frac{1}{2}\left [ \upsilon _{xi}+\left ( \upsilon _{xi}+a_{x}t \right )\right ]t$$

가 되고, 괄호를 거두면

$$x_{f}=x_{i}+\upsilon _{xi}t+\frac{1}{2}a_{x}t^{2}$$

등가속도 운동하는 입자의 모형에서 시간의 함수로 나타낸 위치의 식을 구할 수 있다.

 이 식은 입자의 처음 속도와 등가속도를 알 때 시간 t에서 입자의 나중 위치를 나타낸다.

---

 (a) 그래프에서 나타낸 양(+)의 등가속도 운동에 대한 위치-시간 그래프는 '등가속도 운동하는 입자의 모형에서 시간의 함수로 나타낸 위치' 식으로부터 얻을 수 있다. 이 곡선이 포물선임에 주목하라.

 t=0에서 이 곡선에 대한 접선의 기울기는 처음 속도 υ _xi와 같고, 나중 시간 t에서 접선의 기울기는 그 시간에서 속도 υ_xf와 같다.

 마지막으로 가장 처음에 구한 식을 아래(바로 위의 식)에서 두 번째 식에 대입하여 t를 소거함으로써, 변수 t를 포함하지 않는 나중 속도에 관한 식을 얻을 수 있다.

$$x_{f}=x_{i}+(\upsilon _{xi}+\upsilon _{xf})(\frac{\upsilon _{xf}-\upsilon _{xi}}{a_{x}})=x_{i}+\frac{\upsilon _{xf}^{2}-\upsilon _{xi}^{2}}{2a_x}$$

이를 나중 속력의 제곱에 대해 정리하면,

$$\upsilon_{xf}^{2}=\upsilon_{xi}^{2}+2a_{x}\left ( x_{f}-x_{i} \right )$$

등가속도 운동하는 입자의 모형에서 위치의 함수로 나타낸 속도의 식을 구할 수 있다.

 

이 식은 나중 속도를 입자의 처음 속도, 등가속도 및 위치로 나타낸 것이다.

 가속도가 영인 운동의 경우, 가속도 a_x가 일정한 식들을 이용하면

• a_x = 0 일 때, $$\upsilon_{xf} =\upsilon_{xi}=\upsilon_{x}$$
• a_x = 0 일 때, $$x_{f}=x_{i}+\upsilon _{x}t$$

이다. 즉, 입자의 가속도가 영일 때 입자의 속도는 일정하고 위치는 시간에 따라 선형으로 변한다. 모형으로 표현하면, 입자의 가속도가 영일 때 등가속도 운동하는 입자의 모형은 등속도 운동하는 입자의 모형이 된다.

---

 이 글에서 구한 식들은 등가속도로 움직이는 일차원 운동에 관한 문제를 푸는 데 사용될 수 있는 운동학 식(kinematic equations)이다. 가장 자주 사용되는 네 개의 운동학 식들이며 때때로 미지수 두 개를 구하기 위하여 식 두 개를 사용할 필요도 있다. 등가속도 운동에서 변하는 것은 위치 x, 속도 υ, 그리고 시간 t 임을 인식하기 바란다.

 많은 예제와 문제를 풀어봄으로써 이 식들을 사용하는 데 도움이 되는 경험을 상당히 많이 쌓을 수 있을 것이다. 때때로 풀이를 하는 데 한 가지 이상의 방법이 사용될 수 있음을 발견할 것이다. 이 운동학 식들은 가속도가 시간에 따라 변하는 상황에서 사용될 수 없음을 기억하라. 이 식들은 가속도가 일정할 때만 사용할 수 있다.