개발 스택 타다닥, 쌓아요

 공기의 저항이 없다면, 지표면 부근의 모든 물체는 지구 중력의 영향 하에서 똑같은 등가속도로 지구의 중심을 향하여 떨어진다는 사실이 잘 알려져 있지만, 이러한 결론은 대략 1600년이 되어서야 받아들여졌다. 그 이전에는 무거운 물체가 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어진다는 그리스 철학자 아리스토텔레스(Aristotle, B.C. 384~322)의 가르침이 지배해 왔다.

 

 낙하 물체에 관하여 오늘날 우리와 같은 생각을 처음으로 한 사람은 이탈리아의 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564~1642)였따. 갈릴레이가 피사의 사탑에서 무게가 다른 두 물체를 동시에 떨어뜨려 두 물체가 거의 동시에 바닥에 도달함을 보임으로써 낙하 물체의 성질을 증명해보았다는 전설이 있다. 비록 갈리레이가 이 특별한 실험을 수행했는지의 여부에는 약간의 의문이 있지만, 그가 경사면에서 움직이는 물체에 관한 많은 실험을 수행했다는 사실은 잘 알려져 있다. 실험을 통해서 그는 약간 경사진 면에서 공들을 아래로 굴려 연속적으로 일정한 시간 간격 동안 움직인 거리를 측정했다. 경사면을 사용한 목적은 가속도를 줄이는 데 있었다. 가속도가 감소되었기 때문에 갈릴레이는 일정한 시간 간격에 대응되는 거리를 정확하게 측정할 수 있었다. 경사면의 기울기를 점차 증가시켜 연직면이 되면 자유 낙하하는 공과 같기 때문에 갈리레이는 마침내 자유 낙하하는 물체에 대한 결론들을 유도해 낼 수 있었다.

 

 다음과 같은 실험을 시도해 보자. 동전과 구겨진 종잇조각을 같은 높이에서 동시에 떨어뜨려 보자. 공기 저항의 효과를 무시하면, 두 물체는 똑같이 운동하여 동시에 바닥에 떨어질 것이다. 공기 저항이 없는 이상적인 경우, 이러한 운동을 자유 낙하라고 한다. 공기저항을 사실상 무시할 수 있는 진공에서 이와 같은 실험이 수행될 수 있다면, 종이가 구겨지지 않더라도 종이와 동전은 같은 가속도로 떨어질 것이다. 1971년 8월 2일, 우주 비행사 스콧(David Scott)이 그와 같은 실험을 달에서 수행하였다.그는 망치와 깃털을 동시에 떨어뜨렸고, 그것들은 달 표면에 동시에 떨어졌다. 이 실험은 분명히 갈릴레이를 기쁘게 했을 것이다.

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 자유 낙하 물체(Freely Falling Objects)라는 표현을 사용할 때, 반드시 정지 상태로부터 떨어지는 물체만을 의미하지는 않는다. 자유 낙하 물체는 처음의 운동 상태에 상관없이 중력만의 영향하에서 자유롭게 움직이는 물체이다. 위로 혹은 아래로 던져진 물체와 정지한 상태에서 떨어지는 물체 모두 자유롭게 떨어진다. 어떤 자유 낙하 물체의 가속도도 처음 운동과 상관없이 아래로 향하며 크기가 같다.

 자유 낙하 가속도의 크기를 g로 표기한다. 지표면 근처에서 g의 값은 고도가 높아짐에 따라 감소한다. 더욱이 위도의 변화에 따라 g에 댛나 이 값을 사용한다. 대략적으로 계산을 빨리 하려면 g = 10m/s^2을 사용한다.

 공기의 저항을 무시하고 자유 낙하의 가속도가 변하지 않는다면, 자유 낙하 물체의 연직 방향 운동은 일차원 등가속도 운동과 같다. 그러므로 등가속도 운동을 하는 물체에 대하여 이전 '등가속도 운동' 글에서 유도한 식들을 적용할 수 있다. 자유 유 낙하 물체를 기술하기 위한 이 식들에 가해야 할 수정이 있다면 운동이 수평 방향(x)이 아니라 연직 방향(y)으로 일어나며, 가속도는 아래 방향으로 9.8m/s^2의 크기를 가진다는 사실이다. 따라서

$$a_{y}=-g=-9.8m/s^{2}$$

이고, 여기서 음의 부호는 자유 낙하 물체의 가속도가 아래로 향하고 있음을 의미한다. 고도에 따라 g가 어떻게 변화되는지는 '만유인력'에서 공부할 것이다.

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여기 간단한 예시를 다루어 보고자 한다.

 떨어지는 물체 또는 위로 던진 물체가 다시 낙하하는 거을 본 적이 있을 것이다. 그래서 이러한 문제는 이미 익숙한 경험을 잘 기술할 수 있어야 한다.

 

 이 상황의 묘사를 위하여, 작은 물체를 위로 던지고 바닥으로 떨어질 때까지의 시간 간격에 주목하라. 이번에는 이 물체를 건물의 옥상에서 위로 던지는 것을 상상하라. 돌멩이는 자유 낙하하기 때문에, 중력 하에서 등가속도 운동하는 입자로 모형화 할 수 있다.

 

 돌멩이를 위로 던졌기 때문에 처음 속도는 양(+)이다. 돌멩이가 최고점에 도달한 후에는 속도의 부호가 바뀔 것이다. 그러나 돌멩이의 가속도는 항상 아래 방향이다. 돌멩이가 사람의 손을 떠난 순간의 위치를 처음 지점으로 하고 최고점을 나중 지점으로 하자.

 돌멩이가 최대 높이에 도달하는 시간을 계산하기 위해 아래의 식을 이용한다.

$$\upsilon_{xf}=\upsilon _{yi} + a_{y}t \to t=\frac{\upsilon _{yf}-\upsilon yi}{a_{y}}$$

좌우 x축 운동이 상하 y축 운동으로 바뀌었기에 x->y로 된 것을 제외하면 가속도가 일정한 속력-시간 관계식이다.

 이를 시간 t에 대하여 정리하면, 속력과 가속도를 알 때 그 값을 구할 수 있다.

 

 위의 속력-시간 관계식을 이용하여 아래의 값들을 구할 수 있다(단, 가속도는 -9.8m/s^2).

1. 최고점에 달했을 때 나중 속력이 0이 된다는 것을 이용하여, 돌멩이를 던졌을 때의 최대 높이를 구할 수 있다.
2. '등가속도 운동하는 입자의 모형에서 위치의 함수로 나타낸 속도의 식'로 바꾸어 (나중 위치)=(처음 위치)를 이용해 다시 되돌아 왔을 때 속도가 어떻게 될지 알 수 있다.$$\upsilon_{xf}^{2}=\upsilon _{yi}^{2} + 2a_{y}\left ( y_{f}-y_{i}\right )$$
3. 처음 속도를 알 때, 가장 처음 구한 식으로 특정 시간에서의 돌멩이 속도와 위치를 구할 수 있다.