개발 스택 타다닥, 쌓아요

 벡터의 덧셈에서 그래프 방법은 정밀도가 요구되거나 삼차원 문제를 다루는 경우에 있어서는 적합하지 않다. 이 포스팅에서 직각 좌표계의 각 좌표축에 벡터를 사영하여 벡터 덧셈을 하는 방법을 공부하기로 하자.

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 이러한 벡터의 각 좌표축에 대한 사영을 그 벡터의 성분(components) 또는 직각 성분(rectangular components)이라고 한다. 모든 벡터는 그 성분으로 완벽하게 기술할 수 있다.

A_x 자리에 성분 벡터 A_x가 오른쪽을 향하고, A_y 자리에 성분 벡터 A_y가 위를 향한다. 이 성분 벡터들의 벡터합이 벡터 A를 이루고, 세 벡터는 직각삼각형을 이룬다.

x-y 평면상에 놓인 벡터 A를 고려하자. 위의 그림과 같이 벡터는 +x축과 θ의 각도를 이루고 있다. 이 벡터 A는 x축에 평행한 성분 벡터 A_x와 y축에 평행한 성분 벡터 A_y의 두 벡터 합으로 표시될 수 있다.

 

 위의 그림에서 세 벡터는 직각삼각형을 이루고 있으며, A = A_x + A_y임을 알 수 있다. 즉 벡터 A는 성분 벡터 A_x와 A_y의 합으로 표시된다.

 벡터 A의 스칼라 성분은 (볼드체가 아닌)A_x와 A_y로 나타낸다. 여기서 성분 A_x는 x 축에 대한 벡터 A의 사영이고, 성분 A_y는 y축에 대한 벡터 A의 사영이다.

 이 성분은 양(+)이나 음(-)이 될 수 있다. 만약 성분 벡터 A_x의 방향이 +x축이라면 성분 A_x는 양(+)이고, 성분 벡터 A_x의 방향이 –x축을 가리키고 있다면 성분 A_x는 음(-)이다. 성분 A_y에 대해서도 마찬가지이다.

 

 위의 그림과 삼각함수의 정의로부터, 'cosθ = A_x/A'와 'sinθ = A_y/A'임을 알 수 있으며, 이때 벡터 A의 성분들은 다음과 같다.

$$A_{x}=Acos\theta$$
$$A_{y}=Asin\theta$$

이 성분들은 두 변이 직교하는 직각삼각형을 이루며, 다른 한 변의 크기는 빗변 A이다. 따라서 벡터 A의 크기와 방향은 벡터의 성분들과 다음 관계를 만족한다.

$$A=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}$$
$$\theta=tan^{-1} \left ( \frac{A_{y}}{A_{x}} \right )$$

성분 A_x와 A_y의 부호는 각도 θ에 따라 결정됨에 주의하여야 한다.

 만약 θ=120도이면, A_x는 음(-)이고 A_y는 양(+)이다. 그리고 θ = 225도이면, A_x와 A_y는 모두 음(-)이다.

 아래 그림은 벡터 A가 각 사분면에 놓여 있을 때 성분들의 부호를 요약한 것이다.

문제 풀이를 할 때 벡터 A를 설명하려면, 각 성분 A_x와 A_y를 알든지 또는 크기 A와 방향 θ를 알면된다.

 

 물리문제에서 벡터를 성분으로 분해한다고 가정하자. 많은 응용에서 반드시 수평과 수직은 아니더라도, 벡터를 서로 수직인 좌표축을 갖는 좌표계에서 성분들로 표현하는 것이 편리하다. 예를 들어 경사면을 따라 미끄러지는 물체를 생각해 보자. 이때 x축을 경사면으로 하고, y축을 경사면에 수직이 되게 잡는 게 편리하다.

 

단위 벡터(Unit Vectors)

 벡터양은 종종 단위 벡터를 이용하여 표시한다. 단위 벡터(기본 벡터)는 차원이 없고 크기가 1인 벡터이다. 단위 벡터는 다른 특별한 의미는 없지만 주어진 방향을 표시하기 위해 사용된다.

단위 벡터는 공간에서 방향을 나타내는 데 편리하다. 직각 좌표의 단위 벡터인

$$\hat{\textbf{i}}, \hat{\textbf{j}}, \hat{\textbf{k}}$$

는 각각 양(+)의 x, y, z축 방향을 나타내는데 사용한다(‘모자’가 있는 기호는 단위 벡터를 나타내는 표준적 표현 방법이다)

위의 그림과 같이 단위 벡터 i , j , k는 서로 수직인 한 세트의 벡터를 구성하며 이들 단위 벡터의 크기는

$$\hat{\textbf{i}} = \hat{\textbf{j}} = \hat{\textbf{k}} = 1$$

이다.

벡터 A가 위의 그림과 같이 x-y 평면에 놓여 있을 때, 성분 A_x와 단위 벡터 i의 곱은 벡터 A_x = A_xi이고, x축에 평행하며 크기는 |A_x|이다.

 마찬가지로 A_y = A_xj는 크기가 |A_y|이고, y축에 평행한 벡터이다. 따라서 단위 벡터를 이용하여 벡터 A를 표시하면

$$\textbf{A} = \textit{A}_{x}\hat{\textbf{i}} + \textit{A}_{y}\hat{\textbf{j}}$$

가 된다.

예를 들어, 위의 그림과 같이 x-y 평면상에 있고 직각 좌표가 (x, y)인 한 점을 생각해 보자. 위치 벡터 r로 표시되는 한 점을 단위 벡터 형태들로써 나타내면

$$\hat{\textbf{r}}=x\hat{\textbf{i}} + y\hat{\textbf{j}}$$

로 주어진다.

 즉 벡터 r의 성분은 좌표 x와 y이다.

 

 그래프 방법으로 정확한 값을 구하기 어렵다면, 벡터를 더하기 위하여 성분을 어떻게 사용하는지 살펴보자. 만약 성분이 B_x와 B_y인 벡터 B를 A에 더하려면, x와 y 성분을 각각 분리해서 더하면 된다. 합 벡터 R = A + B는

$$\textbf{R}=\left ( A_{x}\hat{\textbf{i}}+A_{y}\hat{\textbf{j}} \right )+\left ( B_{x}\hat{\textbf{i}}+B_{y}\hat{\textbf{j}} \right )$$

즉

$$\textbf{R}=\left ( A_{x}+B_{x} \right )\hat{\textbf{i}}+\left ( A_{y}+B_{y} \right )\hat{\textbf{j}}$$

이 된다. R = R_xi + R_yj이므로, 합 벡터의 성분은

$$R_{x}=A_{x}+B_{x}$$
$$R_{y}=A_{y}+B_{y}$$

이다. 따라서 벡터의 성분을 이용하여 더할 때, 각각의 x 성분들을 더하여 합 벡터의 x 성분을 구하고, y 성분에 대해서도 같은 과정을 이용한다. 성분을 이용한 덧셈은 아래의 그림과 기하학적인 과정을 통하여 확인해볼 수 있다.

벡터 R의 크기와 x축과 이루는 각도는 각각 다음과 같다.

$$\textit{R}=\sqrt{\textit{R}_{x}^{2}+\textit{R}_{y}^{2}}=\sqrt{\left ( A_{x}+B_{x} \right )^{2}+\left ( A_{y}+B_{y} \right )^{2}}$$
$$tan\theta =\frac{\textit{R}_{y}}{\textit{R}_{x}}=\frac{A_{y}+B_{y}}{A_{x}+B_{x}}$$

 때때로 세 개의 성분 방향을 갖는 운동을 고려할 필요가 있다. 이러한 방법을 삼차원 벡터로 확장하는 것은 간단하다. 만약 벡터 A와 B가 x, y , z 성분을 갖고 있다면

$$\textbf{A}=\textit{A}_{x}\hat{\textbf{i}} + \textit{A}_{y}\hat{\textbf{j}}+\textit{A}_{z}\hat{\textbf{k}}$$
$$\textbf{B}=\textit{B}_{x}\hat{\textbf{i}} + \textit{B}_{y}\hat{\textbf{j}}+\textit{B}_{z}\hat{\textbf{k}}$$

로 표현할 수 있고, 벡터 A와 B의 합은

$$\vec{}\overrightarrow{\textbf{R}}=\left (\textit{A}_{x}+\textit{B}_{x}\right )\hat{\textbf{i}} + \left (\textit{A}_{y}+\textit{B}_{y}\right )\hat{\textbf{j}}+\left (\textit{A}_{z}+\textit{B}_{z}\right )\hat{\textbf{k}}$$

이다.

 만약 벡터 R이 x, y, z 성분을 갖는다면, 벡터의 크기는

$$\textit{R}= \sqrt{\textit{R}_{x}^{2}+\textit{R}_{y}^{2}+\textit{R}_{z}^{2}}$$

벡터 R이 x 축과 이루는 각도 θ_x는 cosθ_x=R_x/R로부터 구할 수 있고, y와 z축에 대한 각도도 비슷한 표현으로부터 구할 수 있다.

 두 개 이상의 벡터를 합할 때 이 방법을 확장시켜 사용하면 된다.