개발 스택 타다닥, 쌓아요

 물리학을 학습할 때, 수치값(크기)과 방향을 동시에 가지는 물리량을 다루는 경우가 많다. 일차원에서의 운동을 다룬 글에서 언급했던 변위, 속도, 가속도 등과 같은 물리량은 모두 벡터양이다. 이 장에서는 벡터양의 몇 가지 일반적인 성질에 관하여 관심을 가지고 공부한다. 즉, 벡터양의 덧셈, 뺄셈과 이들을 물리적 상황에 적용하는 방법을 알아보고자 한다.

 벡터양은 이 교재 전체에서 사용되므로, 벡터의 도해 및 대수적 성질을 숙지하는 것이 필요하다.

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좌표계

 물리학에서 여러 가지 문제들은 공간상에서 어떤 위치를 나타내야 풀 수 있다. 예를 들어 일차원 운동에서 시간 변화에 따른 물체의 위치를 수학적으로 기술하는 방법이 필요하다는 것을 알았다.

 이차원에서는 원점을 기준으로 서로 수직인 두 축을 그린 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)를 사용하여 기술할 수 있다. 임의의 한 점은 (x, y)로 표시한다. 이 데카르트 좌표를 직각 좌표라고도 한다.

 

평면상의 한 점을 표시할 때, 위 그림과 같이 평면 극좌표(r, θ)를 사용하는 것이 편리한 경우가 있다. 이 평면 극좌표계에서, r은 직각 좌표의 원점 (0, 0)으로부터 한 점의 위치(x, y)까지의 거리이며, θ는 원점에서 주어진 점까지 그은 선분과 고정된 좌표 x축 사이의 각도이다. 고정축은 보통 +x축을 택하고 각도는 반시계 방향으로 측정한다. 그리고 위의 오른쪽 그림의 직각 삼각형으로부터 sinθ = y/r 및 cosθ = x/r 가 됨을 알 수 있다. 따라서 평면 극좌표로 나타낸 좌표로부터 직각 좌표를 얻는 방법은 다음 식과 같다.

$$x=rcos\theta$$ $$y=rsin\theta $$

또한 우리가 직각 좌표계를 알고 있다면, 삼각 함수의 정의에서

$$tan\theta = \frac{y}{x}$$ $$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

의 관계가 있으며, 위의 식은 잘 알고 있는 피타고라스의 정리이다.

 

 위의 3 개의 수식에 나타난 좌표 (x, y)와 (r, θ)의 관계는 위의 왼쪽 그림과 같이 θ가 정의될 때, 즉 θ를 +x축으로부터 반시계 방향으로 측정된 각도로 정의할 때에만 사용할 수 있다(계산기에서 제공되는 직각 좌표와 극좌표 사이의 변환은 위와 같은 표준 구정을 바탕으로 한 것이다). 만일 평면 극좌표의 기준 축을 +x축으로 하지 않거나, 각도의 증가 방향을 다르게 정의할 경우 두 좌표계의 관련된 표현 식은 바뀌게 된다.

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벡터양과 스칼라양

 이제 스칼라양과 벡터양의 차이를  살펴보자. 외출 때 입을 옷을 고민하여 밖의 온도를 알고 싶을 때, 필요한 정보는 단지 수치와 그 단위인 섭씨도(°C) 또는 화씨도(°F)이다. 그러므로 온도는 사칼라양의 한 예이다.

 스칼라양(scalar quantitiy)은 적절한 물리저 단위는 갖지만, 방향성이 없는 하나의 단순한 수치로 완전하게 정의할 수 있다.

 스칼라양의 다른 예로는 부피, 질량, 속력 그리고 시간 간격 등이 있다. 질량 또는 속력과 같은 스칼라는 항상 양이고, 온도와 같은 스칼라는 양 또는 음의 값을 가질 수 있다. 스칼라양을 취급할 때는 일반적인 산술 규칙을 사용하면 된다.

 망약 경비행기를 조종하기 위해서 바람의 속도를 알아야 한다면, 바람의 속력과 동시에 그 방향을 알아야 한다. 속도를 완전하게 서술하려면 방향이 반드시 필요하므로, 속도는 벡터양이다.

 벡터양(vector quantity)은 스칼라양과 같이 적절한 물리적 단위를 가지며, 크기와 방향을 모두 갖는 양으로 정의한다.

 벡터양의 또 다른 예는 일차원 운동하는 입자에서 언급한 변위이다. 한 입자가 아래 그림에서와 같이 한 점에서 다른 한 점으로 직선을 따라 이동한다고 가정하자.

입자가 위치 A에서 B로 점선으로 표시된 임의의 경로를 따라 이동하였을 때, 이 변위는 벡터양이고 위치 A에서 B를 연결한 화살로 표시된다.

 이 변위를 위치A에서 B까지 화살표를 그려서 표시할 수 있다. 여기서 화살촉의 방향은 변위의 방향을 나타낸다. 만약 한 입자가 위의 그림과 같이 위치 A에서 B까지 점선을 따라 이동하였더라도 변위는 역시 위치 A에서 B까지 그린 화살표로 표시한다. 변위는 단순히 시작점과 끝점의 위치에 의존하며, 변위 벡터는 이러한 두 점 사이의 경로에는 무관하다.

 

 이 교재에서는 벡터를 표시하기 위해 볼드체를 한 문자 머리 위로 화살표를 엊힌다. 또한 벡터를 표시하기 위해 화살표 없이 간단한 볼드체 A를 사용하기도 한다. 벡터 A의 크기는 A 또는 화살표를 엊힌 |A|로 표시한다.

$$\overrightarrow{\textbf{A}}$$

 벡터의 크기는 물리적인 단위를 갖는다. 변위를 나타내는 m, 그리고 속도를 나타내는 m/s 등이 그 예이다. 벡터의 크기는 항상 양수이다.

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벡터의 성질

물리향을 나타내는 벡터의 일반적인 성질을 알아보고 벡터의 덧셈과 뺄셈을 대수적인 방법과 기하학적인 방법을 이요하여 논의하고자 한다.

 

• 벡터의 동등성(Equality of Two Vectors)

 두 벡터 A와 B가 동등하다는 것은 크기가 같고 방향이 같음을 의미한다. 즉

$$\overrightarrow{\textbf{A}}=\overrightarrow{\textbf{B}}$$

는 A=B를 만족하고, 두 벡터 A와 B가 평행선을 따라 같은 방향을 가리킬 때이다. 예를 들면 아래 그림과 같이 여러 벡터들은 서로 다른 곳에서 출발하지만 모든 벡터들은 크기(길이)가 같고 평행하기 때문에 동등하다. 이러한 성질로부터 벡터는 평행 이동이 가능함을 알 수 있다.

크기가 같고 방향이 일치하므로 네 벡터는 모두 동등하다.