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벡터의 동등성

 두 벡터 A와 B가 동등하다는 것은 크기가 같고 방향이 같음을 의미한다. 즉 벡터 A=B는 평범한 A=B를 만족하고, 벡터 A와 B가 평행선을 따라같은 방향을 가리킬 때이다.

크기가 같고 방향이 일치하므로 네 벡터는 모두 동등하다.

위의 그림과 같이 여러 벡터들은 서로 다른 곳에서 출발하지만, 모든 벡터들은 크기(길이)가 같고 평행하기 때문에 동등하다. 이러한 성질로부터 벡터는 평행 이동이 가능함을 알 수 있다.

벡터의 덧셈(Adding Vectors)

벡터 A와 B를 더할 때, 두 벡터 합 r은 벡터 A의 꼬리에서 벡터 B의 머리까지 이어준 벡터이다.

 벡터의 덧셈은 그래프 방법으로 편리하게 기술할 수 있다. 벡터 B를 A에 더하려면, 위의 그림과 같이 모눈종이에 먼저 벡터 A를 그려 넣고 벡터 B를 같은 배율로 벡터 B의 꼬리가 A의 머리로부터 시작하도록 그려준다. 여기서 두 벡터의 덧셈의 결과는 합 벡터(resultant vector) R=A+B로서, 벡터 A의 꼬리에서 벡터 B의 머리까지 연결한 벡터이다.

4 개의 벡터를 더하는 기하학적 방법. 합 벡터 R은 정의에 따라 다각형을 완성하는 하나의 벡터이다.

기하학적인 방법은 둘 이상의 벡터를 더할 때도 사용할 수 있다.

 위의 그림은 네 개의 벡터를 더하는 방법을 보여준다. 합 벡터 R=A+B+C+D는 다각형을 완성하는 벡터이다. 다시 말하면, R은 처음 벡터의 꼬리에서 마지막 벡터의 머리 부분까지 연결한 벡터이다. 벡터 덧셈에 대한 이 방법을 머리-꼬리법(head to tail method)이라 한다.

벡터 덧셈은 교환적이라는 것을 보여준다.

 두 벡터를 더할 때, 그 합은 덧셈의 순서에 무관하다(이것은 사소한 것으로 보이나 ‘계의 에너지’와 ‘각운동량’에 대해서 배울 때 벡터의 곱은 순서가 중요할 수 있다는 것을 알게 될 것이다). 이러한 성질은 위의 그림과 같이 기하학적인 방법으로 알 수 있으며, 이를 덧셈의 교환 법칙(commutative law of addition)이라 한다.

$$\overrightarrow{\textbf{A}}+\overrightarrow{\textbf{B}}=\overrightarrow{\textbf{B}}+\overrightarrow{\textbf{A}}$$

 셋 또는 그 이상의 벡터를 더할 때, 그 합은 어떤 두 벡터를 먼저 더하느냐와 무관하다.이 규칙의 기하학적인 증명이 아래의 그림에 설명되어 있다. 이를 덧셈의 결합 법칙(associative law of addition)이라고 한다.

벡터 덧셈의 결합 법칙을 증명하는 기하학적 방법

$$\overrightarrow{\textbf{A}}+(\overrightarrow{\textbf{B}}+\overrightarrow{\textbf{C}})
=(\overrightarrow{\textbf{A}}+\overrightarrow{\textbf{B}})+\overrightarrow{\textbf{C}}$$

요약하면 벡터양은 크기와 방향을 가지며, 위쪽의 모든 그림들의 설명된 바와 같이 벡터의 덧셈 법칙을 따른다.

 

 두 개 혹은 그 이상의 벡터를 서로 더할 때 벡터는 모두 같은 단위를 가져야 하고, 같은 물리량을 나타내어야 한다. 변위 벡터(예를 들어 북쪽으로 200km)에 속도 벡터(예를 들어 동쪽으로 60km/h)를 더한다는 것은 아무 의미가 없는데, 왜냐하면 그 벡터들은 km와 km/h라는 서로 다른 물리량을 나타내기 때문이다.

이와 같은 규칙은 스칼라양에서도 적용된다. 예를 들어 시간 간격과 온도를 더하는 것은 의미가 없다.

 

음의 벡터(Negative of a Vector)

벡터 A의 음의 벡터는 벡터 A에 더했을 때 그 합이 영이 되는 벡터이다. 즉,

$$\overrightarrow{A}+(-\overrightarrow{A})= 0$$

이다. 벡터 A 와 벡터 –A는 크기는 같지만 서로 반대 방향을 가리킨다.

 

벡터의 뺄셈(Subtracting Vectors)

벡터의 뺄셈은 음의 벡터의 정의를 이용하여 구할 수 있다. 연산 벡터 A-B는 벡터 A에 음의 벡터 –B를 더하여 구한다.

$$\overrightarrow{A}-(\overrightarrow{B})=\overrightarrow{A}+(-\overrightarrow{B})$$

두 벡터의 뺄셈에 대한 기하학적인 방법은 아래 그림에 표시되어 있다.

벡터 A에서 B를 빼는 방법과 벡터 뺄셈을 조사하기 위한 두 번째 방법

두 벡터 A와 B의 차 A - B를 구하는 다른 도식적인 방법은, 두 번째 벡터(B)에 무슨 벡터를 더하면 첫 번재 벡터(A)가 되는지 생각해 보는일이다. 이 경우, 다시 위의 오른쪽 그림과 같이 벡터 A-B는 두 번째 벡터(B)의 머리에서 시작하여 첫 번재 벡터(A)의 머리를 잇는 벡터이다.

 

벡터와 스칼라의 곱(Multiplying a Vector by a Scalar)

 

 벡터 A에 양(+)의 스칼라양 m을 곱하면, 그 곱은 벡터 A와 방향이 같고 크기가 mA인 벡터이다.

 벡터 A에 음(-)의 스칼라양 –m을 곱하면, 그 곱은 벡터 A와 반대 방향이다.

 

 예를 들어 벡터 5A는 벡터 A의 크기와 5배나 차이나고, 벡터 A와 같은 방향을 향한다. 그리고 벡터 –1/3A는 벡터 A에 대해서 크기가 1/3배가 되고, 방향이 벡터 A와 반대인 벡터가 된다.